Обтекание профиля тонкой пластины.
Обтекание прямоугольного контура сечения детали.
Ламинарное обтекание клиновидного сечения.
Процесс рачёта обтекания на примере обтекания круглого профиля.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Чувашский государственный университет им. И.Н.Ульянова» ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО И АППАРАТНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ ДИПЛОМНАЯ РАБОТА на тему: МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ТЕРРИТОРИИ НА ЗОНЫ ВЛИЯНИЯ Дипломник студентка группы ИВТ 31-06 Батманова Анна Владимировна Научный руководитель ст. преп. Артемьев Эдуард Иосифович Заведующий кафедрой Д-р физ.-мат. наук, профессор Артемьев Иосиф Тимофеевич Рецензент К. ф.-м. н., зав. кафедрой экономико-математического моделирования ЧГУ Никитин В.В. Чебоксары 2010 СОДЕРЖАНИЕ Введение 3 Глава 1. Диаграмма Вороного 5 Глава 2. Электростатический метод разделения территории на зоны влияния 9 Глава 3. Разделение территории с учётом потенциалов центров влияния 12 Глава 4. Гравитационная модель Глава 5. Разделение территории с учётом пропускной способности её отдельных участков Глава 6. Приложение методов оптимального разделения к карте административных районов Чувашской Республики Заключение 15 Список использованной литературы 16 Приложение 1. Исходный код программы «Построение зон влияния с учётом дорог и потенциалов» 18 Приложение 2. Результаты работы программ 35 ВВЕДЕНИЕ Экономическая и социальная география имеет в качестве объекта своего изучения динамические территориальные социально-экономические системы, в которых взаимодействуют природа, население и хозяйство. Построить единую модель территориальной социально-экономической системы, ввиду её сложности, практически невозможно. Поэтому идут по пути построения упрощенных моделей. В зависимости от цели исследования могут создаваться модели численности и состава населения, модели миграции населения, модели районирования и др. Районирование представляет собой одну из важных географических проблем. Изучение этой проблемы ведется интенсивно на протяжении многих лет, однако качество большинства схем районирования не соответствует возросшим запросам сегодняшней науки и практики. Имеющиеся проблемы районирования не ограничивают, а часто даже способствуют выработке субъективных решений, которые могут привести к далеко не лучшему варианту разделения территории по комплексу изучаемых признаков. Поэтому разработка и использование объективных методов районирования является в географии одной из основных задач, возникающих при моделировании границ районов региона. Различают два вида районирования: однородное и узловое. Однородное районирование заключается в выявлении территориальных частей на основе признака однородности изучаемых явлений. Узловое районирование предполагает выявление центров (узлов) и отнесение территориальных единиц к тем или иным центрам, главным образом, по признаку тесноты разнообразных материальных и нематериальных связей. В данной дипломной работе изложены и применены на практике пять узловых моделей разделения территории на зоны влияния. Каждой модели посвящена отдельная глава этого научного труда. Широкое использование в географии математических методов позволило значительно продвинуться вперед на пути отыскания наиболее объективных методов выделения зон влияния. В настоящее время имеются и статистическая информация, и эффективные способы её обработки. Поэтому на первый план выступает задача формализации основных действий районирования, то есть поиск для них адекватных математических толкований и представление их в виде соответствующих математических операций с количественными исходными данными. Выражаю глубокую признательность своему научному руководителю, – профессору Артемьеву И.Т., за возможность заняться интересной темой в области математического моделирования. С уважением Батманова А.В. 11.02.2011. ГЛАВА 1 ДИАГРАММА ВОРОНОГО Как удаётся археологам находить места потенциальных городищ там, где самый профессиональных геоморфолог с трудом распознает в рельефе последствия деятельности человека? Почему при посещении монастыря или старинной крепости, почти всегда охватывает удивление от того, насколько глубока связь назначения объекта и его окружения: рельефа, растительности, речной сети, полезных ископаемых и даже жителей? Не правда ли, глядя на современные творения, подобное ощущение посещает крайне редко? Сторонники иррационального могут апеллировать к тому, что древние строители были ближе к маленькому божеству, Genius Loci, "гению места", как называли его римляне. У почитателей рационального свой расчёт. С самых древних времён выбор местоположения был ключом к реализации эффективной логистической стратегии. Выбирая место для церкви, города или крепости, правители рассматривали множество факторов: технологические, военные, макроэкономические, инфраструктурные, ресурсные. Не смотря на всё разнообразие критериев принятия решений, цель инвестиций в большинство крупных инфраструктурных объектов была одна: улучшить время отклика. Время на доставку грузов, время реагирования на внешние угрозы, время на мобилизацию населения и сбор налогов, время на передачу информации. На другой чаше управленческих весов размещалась стоимость и риски: капитальные и текущие затраты, риски потери контроля или разрушения объекта. Рис. 1.1. График зависимости среднего времени отклика от числа центров влияния Если на карте для каждого из городов отобразить равноудалённые линии, иначе называемые изохронами, мы получим карту влияния городов на окружающие территории. Это идеализированная картинка. В реальности, материальные и, вслед за ними, информационные потоки распространяются вовсе не так, как свет в вакууме. Распространению этих потоков препятствует сопротивление среды. Административные границы, чаще всего, проходят по территории с одинаковым влиянием двух соседних городов. Причём, эти границы очень консервативны и могут отражать ситуацию XVIII-го века и ранее. На рисунке 1.2 показано, как построить равноудалённые границы между тремя городами в идеальном случае, когда не учитывается рельеф и дорожная сеть. Рис. 1.2. Равноудалённые границы между тремя городами в идеальном случае Если продолжить логику построения границ на всю карту, мы получим ячеистый математический объект, называемый диаграммой Вороного. Рис. 1.3. Пример территориального разделения методом диаграммы Вороного Диаграммы Вороного используются для привязки географически распределённых клиентов к центрам обслуживания в том случае, если дорожная сеть не играет большой роли. Внимательно взглянув на диаграмму Вороного, можно понять, почему сети мобильных операторов называют "сотовыми" (с таким же успехом, они могли бы называться "Вороными"). Описанным методом можно разграничивать кварталы городов, обслуживаемые станциями скорой помощи или пожарными и другими службами. В случае плотной дорожной сети, её неоднородностями можно пренебречь, используя эффективные алгоритмы построения диаграмм Вороного для определения круга клиентов, закреплённых за магазином или складом: все клиенты, попавшие внутрь ячейки, обслуживаются из её центра. При решении задач выбора расположения объектов используют и более сложные диаграммы, строящиеся с учётом дорожной сети. Известный немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле (1805-1859) незадолго до своей смерти ввел диаграммы для двух- и трехмерного случаев. Поэтому их иногда называют диаграммами Дирихле. В 1908 русский математик Георгий Феодосьевич Вороной (1868-1908) описал эти диаграммы для многомерного случая и с тех пор диаграммы носят его имя. ГЛАВА 2 ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ТЕРРИТОРИИ НА ЗОНЫ ВЛИЯНИЯ Дадим электростатическую интерпретацию метода силовых линий. В качестве центров влияния рассмотрим неподвижные положительные электрические заряды с величинами . Рассмотрим действие центров влияния на некоторую точку территории, которую будем ассоциировать с отрицательным точечным зарядом величиной . Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует. Понятие точечного заряда является абстракцией. Закон взаимодействия двух точечных зарядов (закон Кулона) имеет вид: (2.1) где ? сила взаимодействия двух точечных зарядов; ? величина заряда, символизирующая потенциал центра влияния; ? величина заряда, символизирующего объект влияния; ? расстояние между зарядами; ? коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы измерений. Сила (кулоновская сила) направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, и соответствует притяжению в случае разноименных зарядов. Суммарное действие на точку территории со стороны центров влияния можно представить как вектор , определяемый по формуле . (2.2) Имея рисунок силовых линий (рис. 2.1), образуемых направлениями векторов суммарного действия центров на различные точки плоскости, можно определить, к какой зоне влияния относится та или иная точка. Она будет соединена с центром одной силовой линией. Т.е. подвижный заряд под действием электростатического поля устремится именно к этому центру. Рис. 2.1. Силовые линии центров влияния Также на плоскости можно выявить множества точек, которые нельзя отнести к влиянию какого-либо центра. Это пограничные точки между зонами влияния. Задача разделения территории на зоны влияния сводится к построению развёрток линий, образуемых этими точками (рис. 2.2). Рис. 2.2. Разделение территории на зоны влияния центров-зарядов Стоит отметить, что зоны влияния, полученные электростатическим методом, имеют формы, которым трудно дать какую-то разумную экономическую или социальную интерпретацию. Тем не менее, этот метод представляет интерес для исследователей. ГЛАВА 3 РАЗДЕЛЕНИЕ ТЕРРИТОРИИ С УЧЁТОМ ПОТЕНЦИАЛОВ ЦЕНТРОВ ВЛИЯНИЯ Идея поля влияния нашла интересное продолжение применительно к задаче поиска оптимального положения объектов в цепочке поставок. Представим себе физическую аналогию: каждый из городов является центром притяжения и обладает определённым весом (потребительским потенциалом). Чем дальше мы будем удаляться от города, тем меньшая сила притяжения будет на нас действовать. Эмпирически показано, что в случае потребительского спроса работает тот же принцип, что и с силой тяготения: чем дальше потребитель находится от магазина, тем меньше вероятность его посещения, причём, обратно пропорционально времени на поездку к магазину. Рассмотрим модель, в которой степень влияния каждого из центров на точку описывается формулой (3.1) где ? степень влияния; ? величина заряда, символизирующая потенциал центра влияния; ? расстояние между объектами; ? коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы измерений. В рассматриваемой модели будем считать, что объект попадает под влияние центра, сила влияния которого превосходит влияние каждого из остальных центров по отдельности. Такое разделение напоминает диаграмму Вороного с той разницей, что в рассматриваемой модели границы будут криволинейными (рис 3.1). Рис. 3.1. Пример разделения территории на зоны влияния с учётом потенциалов центров Отметим, что рассматриваемая модель является обобщением диаграммы Вороного. Если принять потенциалы центров равными между собой, то картина зон влияния примет вид диаграммы Вороного. Это случай вырождения модели до диаграммы Вороного. ГЛАВА 4 ГРАВИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ Гравитационная модель [gravity model] — модель взаимодействия между пространственными объектами (городами, регионами, странами) в региональном анализе и пространственном анализе экономики. В различных модификациях такие же модели используются при исследовании процессов урбанизации, размещения промышленности, экспортно-импортных взаимосвязей, миграции населения. Общая черта этих моделей заключается в том, что сила взаимодействия (интенсивность потоков) в них зависит от значимости (величины) объектов и расстояния между ними. Соответственно, общая форма гравитационной модели такова: (4.1) где ? объем взаимодействия между объектами и ; ? коэффициент соответствия; ? некоторая мера значимости объекта (например, численность населения города ? и города ? ); ? расстояние между ними; степенные показатели ? параметры модели. Легко заметить, что приведенная формула аналогична физической формуле притяжения между телами: отсюда и название ? «Гравитационная модель». Такие модели применяются при исследовании товарных потоков между парами стран. В них учитываются социально-экономические факторы, определяются экспортные возможности и импортные потребности торговых партнеров, факторы, относящиеся к продвижению товарного потока (расстояние, наличие таможенных барьеров и т. п.). Отметим, что гравитационная зависимость (4.1) обобщает формулы (2.1) и (3.1) взаимодействия. Варьирование параметров позволяет устанавливать степень значимости потенциалов объектов и расстояния между ними. Например, увеличив , можно усилить влияние расстояния на взаимодействие объектов. Такая гибкость в «настройке» расширяет область приложения данной модели. Адекватность гравитационной модели, экономическая обоснованность их применения оспаривается некоторыми специалистами. ГЛАВА 5 РАЗДЕЛЕНИЕ ТЕРРИТОРИИ С УЧЁТОМ ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ ЕЁ ОТДЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ В первых главах работы рассматривались модели взаимодействия объектов с учётом расстояний между ними. При этом под расстоянием подразумевалась длина прямого пути. Это идеализированное представление. В реальности, материальные и, вслед за ними, информационные потоки распространяются вовсе не так, как свет в вакууме. Распространению этих потоков препятствует сопротивление среды. Представьте себе, как деформировалось бы поле влияния городов из-за неоднородности ландшафта, растительности, наличия рек и дорог. В этой главе рассмотрим, как построить границы между областями влияния нескольких центров в реальном случае, когда учитывается пропускная способность территории (рельеф, водные преграды и дорожная сеть). Такой подход усложнен тем, что приходится проводить трудоёмкий поиск наикратчайших путей от объекта до центров влияния. В данном контексте термин «наикратчайших» было бы правильнее заменить на «минимальных по стоимости». Под стоимостью пути будем подразумевать следующую сумму: (5.1) где ? количество составляющих перемещений, ? длины перемещений, ? удельная стоимость перемещения. Удельная стоимость перемещения может характеризовать временные или материальные затраты при перемещении на единицу пути. Цель исследователей распределить зоны влияния таким образом, чтобы стоимость самого дешевого пути до центра была минимальной (задача минимизации отклика). В рассматриваемой модели степень влияния каждого из центров на точку будем описывать формулой (5.2) где ? потенциал центра влияния; ? стоимость оптимального (самого дешёвого) пути от точки до рассматриваемого центра; ? коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы измерений. Рис. 5.1. Пример разделения территории на зоны влияния с учётом потенциалов центров и проводимости среды Для данной модели автором работы была создана программа «Построение зон влияния с учётом дорог и потенциалов», исходный код которой представлен в приложении 1. В этой главе приведены две графические схемы, полученные с её помощью (рис. 5.1, 5.2). Рис. 5.2. Параболическая граница между зонами влияния Наибольший интерес вызывает рисунок 5.2. На нём приводится схема разделения зон влияния между двумя центрами с равными потенциалами. Как видно из рисунка, большей зоной влияния обладает центр, расположенный ближе к прямолинейной дороге. Эта схема отчасти объясняет, почему предприниматели стремятся расположить свои торговые точки максимально близко к трассам с оживлённым движением. Из геометрии известно, что множество точек, равноудаленных от заданной точки и прямой линии, является параболой. Поэтому можно говорить, что граница, представленная на рисунке 5.2, по характеру близка к параболе. ГЛАВА 6 ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДОВ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗДЕЛЕНИЯ К КАРТЕ АДМИНИСТРАТИВНЫХ РАЙОНОВ ЧУВАШСКОЙ РЕСПУБЛИКИ Применим некоторые из описанных в предыдущих главах методов к разделению территории ЧР на зоны влияния крупных населённых пунктов. Административные границы, чаще всего, проходят по территории с одинаковым влиянием двух соседних городов. Причём, эти границы очень консервативны и могут отражать ситуации, сложившиеся десятки-сотни лет назад. На рисунке 6.1 приведён вариант районного разделения с использованием диаграммы Вороного. Из рисунка видно, что идеальные границы по Вороному располагаются очень близко к реальным границам административных районов. Такое разделение возникло довольно давно, когда сеть дорог координально отличалась от современной (или отсутствовала как таковая). На рисунке 6.2 показано альтернативное разделение территории Чувашии на административные районы с учётом сети главных дорог. Такое разделение более достоверно отражает влияние административных центров на близлежащую территорию. В этой схеме более объективно отражена картина досягаемости различных уголков Чувашии по времени отклика до ближайшего центра. Рис. 6.1. Разделение территории Чувашии на административные районы с помощью диаграммы Вороного. Рис. 6.2. Альтернативное разделение территории Чувашии на административные районы с учётом сети главных дорог. Заметим, что на рисунке 6.2 очень мала зона влияния г. Козловка. Это связанно с его удалённостью от главных дорог. Невыгодность такого расположения была рассмотрена в предыдущей главе. Очевидно, что для увеличения зоны влияния г. Козловка необходимо проложить рядом с ним участок федеральной дороги с высокой пропускной способностью. Очевидно, что разделение территории Чувашии на районы с учётом дорог гораздо предпочтительнее, чем разделение по Вороному, в плане экономического и социального развития. Причём, такое разделение будет динамично изменяться с появлением новых крупных автомагистралей. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Результатом выполнения данной работы стало создание универсальной программы «Построение зон влияния с учётом потенциалов центров и проводимости среды». Программа, исходный код которой представлен в данной работе, может быть усовершенствована до более функциональной коммерческой версии. Методом разделения территории на зоны влияния, с учётом потенциалов центров и проводимости, среды можно разграничивать кварталы городов, обслуживаемые станциями скорой помощи или пожарными и другими службами. Одной из самых важных сильных сторон этого метода, выгодно отличающей его от ряда других, является то, что он позволяет учитывать наличие плотной дорожной сети и её неоднородностей. Программа также может быть использована для прослеживания границ территорий влияния торговых и сервисных центров, определения более выгодных мест для размещения новых коммерческих объектов. Программа, описанная в данной работе, может быть использована для определения круга клиентов, закреплённых за магазином или складом: все клиенты, попавшие внутрь зоны, обслуживаются из её центра. Созданный автором комплекс программ позволяет быстро и оптимально решать задачи выбора расположения объектов. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Артемьев И.Т., Новикова С.В. Программирование на языке TURBO PASCAL: - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2000. -160 с. Артемьев И.Т., Ильина Л.А. Вычислительная практика на ЭВМ: Учебное пособие. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2001. -104 с. Артемьев И.Т., Ильина Л.А. Численные методы. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2002. -88 с. Артемьев И.Т., Ильина Л.А, Ильин Д.В. Программирование на алгоритмических языках: Лабораторный практикум. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2005. -100 с. Артемьев И.Т. Методы оптимизации для гуманитариев: Практикум. – Чебоксары: ООО «Атолл», 2005. – 28 с. Артемьев И.Т., Артемьев Э.И. Теоретическая механика для гуманитариев: Практикум. – Чебоксары: ООО «Атолл», 2006. – 48 с. Артемьев И.Т. Практикум по математике для гуманитариев. – Чебоксары: ООО «Атолл», 2005. – 56 с. Артемьев И., Сейфуллина С.В. Теория вероятностей для гуманитариев: Практикум. – Чебоксары: ООО «Атолл», 2005. – 56 с. Артемьев И.Т. Простая информатика для гуманитариев: Лабораторный практикум. – Чебоксары: ООО «Атолл», 2005. – 68 с. Артемьев И., Унжакова Е. Простая информатика для гуманитариев: Лабораторный практикум. – Чебоксары: «Новое время», 2006. – 80 с. Артемьев И.Т., Замкова Т.В. Информатика для гуманитариев: Практикум на ПК / Учебное пособие. – Чебоксары: ЧИ МГОУ, 2006. – 74 с. Артемьев И.Т. Методы оптимизации и повышения эффективности технологических процессов: Практикум / Учебное пособие. – Чебоксары: «Новое время», 2007. –60 с. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИСХОДНЫЙ КОД ПРОГРАММЫ «Построение зон влияния с учётом дорог и потенциалов» НА ЯЗЫКЕ LAZARUS