Исследование математических моделей имитации конфликтов

ЧУВАШСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени УЛЬЯНОВА QФакультет Кафедра математического моделирования ДИПЛОМНАЯ РАБОТА тему Исследование математических моделей Йимитации конфликтов Дипломник Артемьев Эдуард Иосифович Научные руководители проф Артемьев преп Филиппов Заведующий кафедрой Проф Артемьев ОРепензент доп Миронов 33 15 Чебоксары 1998 настоящее время пользуются популярностью методы математического моделирования экологии социологии биологии медицине химии многих других областях человеческой деятельности Особый интерес вызывают современных условиях gвопросы прогнозирования конфликтов Конфликты возникают между особями одной популяции еще более актуальны конфликты между популяциями особенно когда несколько Нетрудно обобщить эту проблему военные конфликты между противостоящими друг другу iбоевыми соединениями человечества данной работе рассматриваются математические модели имитации iконфликтов основанные системах дифференциальных уравнений Нас JSинтересовало качественное развитие конфликтов выживание вымирание равновесие колебание численности общем прогнозирование динамики численности популяций Поэтому основной хупор делается численном решении графической интерпретации для большинства примеров приведены аналитические решения Настоящая работа является попыткой создания элементарного jсправочника простейшим моделям имитаций конфликтов хотя претендует это Дипломник выражает глубокую признательность своим научным ируководителям профессору Артемьеву старшему преподователю Филиппову предоставленную ему возможность войти оинтересный курс моделирования конфликтов уважением Артемьев 8170698 00 Уравнение Мальтуса Изменение общего количества живых особей популяции рождаемостью смертностью один важнейших вопросов экологии популяции Если считать популяцию изолированной ресурсы питания неограниченными прирост поголовья пропорциональным количеству взрослых особей динамика численности популяции описывается дифференциальным уравнением где численность популяции момент времени коэффициент прироста популяции Решением этого уравнения является функция ttft xtQ численность популяции начальный момент времени следует что численность поголовья растет неограниченно Разумеется одной реально существующей популяции такой рост наблюдается Уравнение имеет смысл либо теоретическом аспекте либо описывает динамику искусственно созданной поддерживаемой популяции Величина при этом называется специфической врожденной скоростью естественного увеличения популяции Артемьев Эдуард Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 Уравнение впервые получил 1802 году Мальтус Его заблуждение заключается том что уравнение справедливое для узкого класса популяций считал универсальным законом только для всей природы для человеческого общества Действительно при уравнонио имеет вид Поскольку при функция стремится бесконечности при число особей данного вида будет стремиться бесконечности Например легко подсчитать что потомство одной пары мух два года при бесприпятственном размножении имело массу превосходящую массу Земли действительности столь быстрый рост наблюдается хотя известны случаи когда некоторые виды животных растений попав благоприятные условия размножались настолько быстро что становились бедствием кролики Австралии водяной гиацинт реках США Основным фактором характерезующим данную модель следует считать пропорциональность скорости роста численности популяции самому числу особей чем больше особей тем больше они принесут чем больше особей тем большее количество умрет времени общем случае следует рассматривать число особей Axt gпопуляции рождающихся единицу времени Bxt число особей умирающих единицу времени Тогда достаточным основанием можно Щутверждать что скорость изменения численности временем озадается формулой Axt Bxt Задача теперь состоит том чтобы описать зависимость Axt фициенты рождения смерти времени соответственно Дифференциальное уравнение иBxt Простейшей является рассмотренная выше ситуация когда переписывается виде iгде коэффициенты рождения смерти особей единицу gdt или виде где еаЪ Естественно при имеем эффект показательного роста шчисленности популяции Если численность gпопуляции экспоненциально стремится нулю при популяция вымирающей Обобщая уравнение заметим что практически все модели iкоторые описывают реальные явления процессы нелинейны вместо дифференциального уравнения следует рассматривать уравнения вида где нелинейная функция например как следующем параграфе 71 АКАТ 01 53 03 33 оте 515 55 СSsiЈостеСчffiоуУ 55 ожбXXXщиЗРан 5535 XиJbчлшУSi 505 55 5505 505 52055 55 тееСМCMт 53 XнсоУffi 553 035 55 05 XшXffiСмюibтгXXf ffi Кисos иXюксX 53 ffiчгкеXгffiсо нсгXЕиrffi 5531 555 053 ffi Фооffiр 25 икСмXте 535223 31 FКXXHSУСXсСнffiч 5055 XXffiуffiS 555 Смиоsс 55 55 505 теУXSосн 554 иXоиXуо СSиЗРУffi QтесЧ 05 cСмиУоУ 55 055 55 ЭЕСмсXСм SшоXнтете 55 CDсiX 535 5355 XгаСЕОСтXоУтеСм 55 XСмXЗР 5505 ffiSгаX 53 rSXсоXчжffiXffiч СмгОсиXистеXXX 3535 53 сОюtEЧиffiсмXтеXX 55 5055 оломУXXXXгаЗР эеHJffiтеXоX оffi ХXтегаXжX лгаш 55 55 55 жгXXчАffiffi XуXЧffiтеXсУрх СXo 53 УитеXJЈUJffiг 55 53 55 Уравнение ФерхюльстаПерла QJ Более точное описание развития популяции дает уравнение ФерхюльстаПерла полученное 545 году Оно учитывает так называемый эффект самоотравления популяции или попросту внутривидовую борьбу популяции Внутривидовая борьба объясняется многими причинами конкурентной борьбой место пищу распространением инфекции изза тесноты Желая учесть этот эффект должны при подсчете прироста вычесть некоторую величину bxAt DxAt Функция bxAt для многих популяций может быть взята виде произведения MxAt const Наличие множителя обосновывается следующим образом Величина bxAt отражает снижение скорости роста популяции изза внутривидовой конкуренции Итак Ахе tcxAt Деля переходя пределу при получим Это уравнение ФерхюльстаПерла коэффициент самоотравления или коэффициент внутривидовой конкуренции Вынесем скобки получим или Обозначив получим об Если начальное значение 50 для всех моментов времени непрерывная функция положительна при следует что производная следовательно растет Разделив переменные уравнении получим или Считая проинтегрируем последнее уравнение lTl 55 или tlX Пусть при 50 Подставив найдем Подставив это значение получим Откуда получим решение виде 50 Если производная всюду положительна Дифференцируя получим llX Подставив сюда выражение получим ЬУУ Следовательно 93 сгэ При hxftxn следовательно вогнута При следовательно выпукла Находим область выпуклости пХдхеЧо область выпуклости лПХ Vxo область вогнутости точка перегиба Если начальный момент времени популяция была небольшой xrt развитие идет выпуклой кривой точки Меняя кривизну этой точке кривая стремится прямой xth нигде достигая этой прямой асимптоте Величина называется максимальной численностью популяции возможной при данных условиях основе модели ФерхюльстаПерла можно рассмотреть более общие задачи например случае неизолированной популяции Здесь приток извне особей единицу времени счет искусственной подсадки или счет миграции численность особей покидающих данную популяцию счет отлова или счет отселения Можно истреблять постоянную величину Mconst можно величину пропорциональную наличной численности Можно охотиться посезонно тогда следует принять Mat целом легко заметить что скорость размножения популяции модели ФерхюльстаПерла при увеличивается увеличением коэффициента рождаемости уменьшается увеличением коэффициента самоотравления Заметим что решение можно переписать виде mxt 550 Отсюда легко заметить что при популяции При этом хвозможны два случая Различие между этими случаями том что первом случае при tюо численность популяции возрастает беспредельно значения превосходящего втором случае численность убывает нуля значения которое меньше первоначального случаях численность стремится Рпредельному значению асимптотически Программа численного решения приведена ниже Далее приведены графические иллюстрации численного решения интерпретирующие развитие популяции модели ФерхюльстаПерла IQI 05 tmi tmUJtl Дифференциальные подели экологии число особей популяции момент времени dxdt скорость изменения численности популяции коэффициент рождаемости особей популяции коэффициент смертности особей популяции Дифференциальное уравнение развития популяции dxdt Уравнение реиается методом Эйлера также строится точное реиение этого диффуравнения имеюцее вид EXPal Графики точного приближенного решений сливаются Эффект самоотравления приводит ограниченному росту или вырождению численности популяции ассимптотон Модель описывает развитие фруктовых вредителей некоторых видов бактерий lliiiiE Графики зависимости численности популяции учетом самоотравления при различных значениях коэффициента самоотравления 04 при all методом Эйлера ооМодель Полетаева oj Артемьев Эдуард Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 Почему деревья имеют ограниченную высоту данном параграфе рассмотрим модель описывающую динамику gроста деревьев Обратим внимание тот факт что этой модели 115 уравнение роста деревьев имеет вид Яdx gdt практически совпадает уравнением ФерхюльстаПерла Исходя опыта предыдущих моделей можно сказать что при получили sбы модель неограниченного роста дерева начальным размером при xfta gdt где коэффициент затрат энергии дерева рост коэффициент очевидно учитывает борьбу существование добычу доставку энергии этом смысле задача подобна задаче 50 самоотравлении можем делать вывод ограниченности размеров деревьев ЪРассматриваемая модель основывается следующих гипотезах Зрелое растение процессе роста сохраняет подобие Это значит что зрелого растения ростом меняется отношение геометрических размеров например отношение высоты диаметру Свободную энергию растение получает только путем Sфотосинтеза Свободная энергия расходуется фотосинтез построение ткани подъем раствора почвы поглощать необходимые вещества неограниченного запаса 94 среднем большие отрезки времени растение получает постоянное количество света единицу площади поверхности может Составим уравнение баланса энергии Пусть линейный размер gрастения Площадь поверхности листьев прямо пропорциональна РОбъем растения прямо пропорционален SУравнение баланса энергии 12 00 энергия образуемая благодаря фотосинтезу зеленой части растения энергия затрачиваемая нужды самого процесса фотосинтеза энергия затрачиваемая транспортировку питательного раствора все части растения точнее расход энергии увеличение маосы растения этот расход прямо пропорционален скорости роста скорость изменения массы деления получим sdx где дерево растет Следовательно Idt Проинтегрируем ttn 85 IXtL 52 tto Формула дает кривую роста дерева Если известны этой формуле можно подсчитать рост дерева данной породы зависимости возраста Дифференцируя получим 55 13 00 Как видим скорость роста дерева соответствует случаю течением времени уменьшается Равенство при котором когда вся поступающая энергия идет обеспечение нужд процесса фотосинтеза транспортировку питательного раствора Дерево при этом растет 14 Артемьев ЭдуардИосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 Модель Полетаева Почему деревья имеют ограниченную высоту высота дерева начальная высота коэффициенты уравнения 10 Модель Полетаева роста деревьев описывается дифференциальным уравнением dxdta Здесь отличие модели Ферхюльста Перла первое слагаемое правой части уравнения является константой что определяет ненулевую скорость роста даже при нулевой высоте дерева Высота дерева асимптотически стрепится предельной при которой энергетнческие затраты фотосинтез работу насоса равны энергии полученной счет фотосинтеза прнраиенне массы энергии остается Для определения предельной высоты приравняем нулю скорость роста решим уравнение Получим значение 55 tfi Ills Модель Полетаева Почему деревья имеют ограниченную высота высота дерева GOSUB 1000 Подпрограмма построения системы координат правая часть уравнения Полетаева DEF tnfx хаЬ время конечное приращение времени начальные условия для вывода начальных данных Метод РунгеКутта четвертого порядка численного решения дифференциального уравнения цикл изменения времени FOR 500 kxl fnfxx fnfxx kxl fnfxx fnfxCx новая высота дерева точка графика высоты дерева приращение высоты дерева kxl PSET NEXT Вывод комментариев начальных данных 15 PRIWT Модель Полетаева LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE 33 LOCATE 33 GOSUB 3000 331 PRIWT Почему деревья имеют ограниченную высоту PRINT PRINT PRIWT высота дерева начальная высота коэффициенты уравнения END 1000 Подпрограмма построения онотемы координат SCREEN 12 графический экран 10 50 масштаб пикселей единице 305 200 начало координат пикселях экране LINE 5620 координатные оси LIME 50 10 разметка обозначение осей FOP 50 PSET ABSCt 10 02 THEN CIRCLE NEXT FOR STEP 16 00 PSET NEXT 3000 LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE RETURN fern ЕзЛ LOCATE 12 73 PRINT LOCATE 10 PRINT LOCATE 14 19 PPINT 10 LOCATE 10 PRINT RETURN подпрограяиа вывода коннеитариев 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 40 40 40 40 40 40 PRINT Модель Полетаева роста деревьев опис PRINT ывается дифференциальным уравнением PRINT dxdta PRINT Здесь отличие модели ферхюльста PRINT Перла первое олагаемое правой част PRINT уравнения является константой что PRINT определяет ненулевуюскорость роста PRINT даже при нулевой высот дерева PRINT Высота дерева асимптотически отреми PRINT тоя предельной при которой энерге PRINT тические затраты Фотосинтез работ PRINT насоса равны энергии полученной 40 40 40 40 40 40 PRINT счет Фотосинтеза приращение мае PRINT энергии оотаетоя 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 PRINT Для определения предельной высоты PRINT приравняем нулю скорость роста PRINT шим уравнение 50 Полечим значе PRINT нив 55 PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT 17 32 Интегродифференциальные уравнения экологии Часто популяция при своем развитии испытывает влияние предшествующих состояний популяции имевших место течении некоторого периода времени таком случае скорость развития популяции зависит только численности интеграла характерезующего влияние предшествующих состояний KtЈxЈ Численное решение таких задач намного труднее обыкновенных дифференциальных уравнений Здесь нас интересует сам процесс моделирования влияния предков потомство поэтому рассмотрим упрощение заключающееся том что ядро считается вырожденным Например можно рассмотреть модель Вольтерра 1934 описывающее динамику популяции Здесь интегральный член описывает уменьшение скорости размножения вследствие загрязнения среды модель Вольтерра Модель Вольтерра учитывает загрязнение среды произведенное всеми предыдущими поколениями время dt 18 Здесь интеграл учитывающий влияние среду или ГЯД 33 загрязнение всех предыдущих поколений всю историю развития популяции коэффициент влияния скорость размножения загрязнений Произведение определяет вероятность встречи особей популяции фактором загрязнения Поскольку неизвестная функция интегрального уравнения перейдем дифференциальному путем замен dvdv Тогда имеем dzv ССJ Решение этого уравнения производим численно следующей итерационной схеме dte Начало цикла 53 xxv vvx Ввод значения или ttdt Конец цикла Это метод Эйлера достаточен для качественного описания характера развития популяции графиков видим что модели Вольтерра учетом загрязнения популяция вымирает асимптотически 19 этом знак перед меняется популяция развивается Можно считать что популяция стремится облагородить среду При знак перед меняется неограниченным ростом численности Заметим что можно учитывать интегралов учитывающих различные загрязняющие отравляющие факторы fc 20 33355 335 53 сРчязо 55 535 ссРсесРчX 53 оРдУЗия 53 545 53 5555 553 ооНоОNсе 553 53331 wоIш 335 fflICDягоs 55331 уIзсенCDяfflЭCD 55 55 335 5535 55 Чрз 3555 CDжяРчсез 535 55 55 555 53 505253 зксX 55 аtcIиоСПffl оошCDJQИсоsCDЮ 05315 ЧXЕСсшО лиз гXн шсРч IIs 55 53 955 1115 ОшРчозл зКм 55 55 влчипн оСПгнн 55 ГГЗи 53 21 cr 15 55 atсо 535 5535 жJSJг XXЦХn 53533533 55 535 пXx 531 нсCDc 05 dззXсJw 533 5335 CDa 53 ПdPN pCD 55 53 XJо 35 yzCDоHI aHj ftaeoОПжоCDCDг соX COЧМHrCD IIJJaCOwCDXCDaHIXоXJ 55533 55 53 ГЧЗззиз 55 COJC 55 XXCD 55 cHj 55355 CDH 555 XnXXCDCOXмX 3325 5335 CDо 55 XCjtj 515 ззо 553 XXnaasCDXXззCDо COо 55 525 53535 55 ивXиXCDsXsa 5335 55 53 XXn 533333 оШCO вft 355 CDs 535 555 5335 xsn dHIо 533 со CD 00 00 35 51 OJ см csi НИЯИИX 15 отельения 55 52 ссосе 23 ееXо XffiffiсеX 5353 сеосисо ОcF сесУоffl 55 552 55 505 осОСX 05 55 5505 05 505055 шсешXсеидX 35 515 55 5505 35 55 55055 555 53 гРЗffi 05 55 SJсеttоСиXСмоXи 35535 Сиtoсеч 5505 55555 59 cdозииXИOJнвО 550505 CUXэсУЭиЧ 505 05 ЧунсеXОчНВ гII ЧЕСсXСчосеигU огXЧ шзксоиXXXсио 35 шчЗ 550505 ЙCUXffiXX 55050505 03 аXX 553 15 5150505 55 СрНч 55 5505 оSЫXffiXX 23 Модель Вольтерра интегральным отравлением среды Литература лайрер Решение ОДУ отр 319 LOCATE 13 10 LOCATE 14 LOCATE 15 10 LOCATE 16 10 LOCATE 17 10 LOCATE 18 10 LOCATE 19 10 LOCATE 20 10 SCREEN 12 rot 50 50 50 ISO DIM 53 aml loo 05 LOCATE 40 PRINT LOCATE 40 PRINT LOCATE 40 PRINT LOCATE 60 PRINT LOCATE 60 PRINT графический экран 52 иасштаб сколько пикселей единице начало координат пикселях экране массив коэффициентов уравнения коэффициент рождаемостисмертности 751 53 173 самоотравление начальное значение при время конечное приращение времени начальное значение интеграла отравления коэффициент отравления среда предками 75 175 правая часть диФФуравнения Функция пользователя учитывающая прирост самоотравление отравление предками DEF fnfp 53 вывод координатных осей разметка осей штрихами LINE Артемьев Эдуард Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 20 5620 LINE 250 160 ГОР PSET nit NEXT FOR PSET NEXT обозначение осей LOCATE 11 73 PRINT LOCATE 10 PRINT LOCATE 11 38 PRINT LOCATE PRINT ЦИКЛ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФУРАБНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА FOR цикл изменения параметра начальные условия amll цикл изменения времени FOR 200 fnfpx приращение количества особей количество особей данный момент количество загрязнении оставленных предками интеграл PSET точка графика численности особей NEXT NEXT PRINT Модель Вольтерра учетом экологии PRINT чиоло особей популяции момент времени PRINT dxdt скорость изменения численности популяции PRINT коэффициент прироста численности популяции PRINT коэффициент самоотравления популяции PRINT Дифференциальное уравнение развития популяции PRINT dxdt PRINT Здесь dvdtxt интеграл отравления 24 55 55 55 55 55 55 55 55 END si 33 Функция характеризует интегральное отравление среды всеми предыдущими поколениями особей время Эффект отравления приводит вымиранию популяции причем чем выше скорость размножения особей началь ный период тек больше отравителей тем скорее вымирает популяция коэффициент ухудшения экологии предыдущими поколениями Здесь рассматривается модель Вольтерра учитывающая влияние развитие популяций отравления окружающей среды всеии поколениями жившими рассматриваемого времени Это влияние учитывается интегралом нуля Интегрируется произведение численности коэффициент ядро запаздыванием данной случае этот коэффициент берется постоянным равным Интеграл обозначен буквой целом эффект отравления предками определяется слагаемый xПри любом исходе популяция вымирает асимптотически Причем чем интенсивней популяция развивается начальный период теи круче спад численности после некоторого промежутка времени Можно считать коэффициент отрицательным Это будет соответствовать случаю когда предки заботясь потомках улучшают среду обитания последнем случае при любой начальной ситуации популяция погибает более того развивается неограниченно Собственно произведение соответствует вероятности встреч особей численностью Факторами отравления среды имеющими объем который оставлен предыдущими поколениями Аналогично произведение соответствует вероятности встреч особей численностью друг другом Что приводит самоотравлению 25 Задача хищникжертва Если рассматривается несколько сосуществующих видов например малых рыб где малые рыбы являются кормом для больших составляя дифференциальные уравнения для каждого вида получим систему дифференциальных уравнений mdx 11 Рассмотрим более подробно двухвидовую модель хищникжертва рыбных уловов Адриатическом море имеющих один тот период отличающихся фазе Пусть число больших рыбхищнико которые питаются малыми рыбамижертвами число которых обозначим через Модель которая впервые была построена Вольтерра для объяснения колебаний оно отличающихся фазе jSg Здесь некоторые положительные числа Отметим что СКРСТЬ изменения численности рыбжертв скорость изменения численности рыбхищников Слагаемое выражает уменьшение числа малых рыб зависимости численности больших слагаемое выражает зависимость прироста больших рыб численности малых рыб При некоторых значениях параметров скорости могут оказаться равными нулю Цdy построенная Вольтерра имеет вид еприШ 41 значит что точка является стационарным mсостоянием изучаемой системы она находится равновесии лчисло жертв число хищников меняется течением времени Итак задача хищникжертва свелась решению системы двух дифференциальных уравнений 26 Kal vsM Найдем зависимость между Разделим первое уравнение второе Тогда можно разделить переменные оНЗ Интегрируя получим точностью константы Отсюда xote или убег Это равенство связывает число жертв число хищников Значение определяется начальными значениями фазовой плоскости уравнение определяет замкнутые траектории характерезующие периодические изменения численности жертв хищников заключении этого параграфа подчеркнем что система является точным отражением действительности самом деле надо учитывать наличие многих видов различие взаимодействия общие условия ограничивающие рост численности некоторого вида многие другие факторы 27 лметод Эйлера ыагои ИвГ популяция жертвы популяция хицникач 11 15 15 Задача хищниках жертвах Рассматривается двухвидовая модель хищникжертва дифференциальная модель развития популяций которая связана размножением или вымиранием последних число больших рыбХИЩНИКОВ число рыбжертв Модель построенная Вольтерраимеет вид dxdt dydt При шаге 51 графики имеют сильно выраженную тенденцию увеличению амплитуды Это связано накоплением погреиности численного счета при больном значении нага Очевидно для уточнения зависимости следует уменьшать или выбирать другой метод решения системы Вольтерра предложил эту модель для объяснения колебаний рыбных уловов Адриатической море имеющих один тот период отличающихся фазе Слагаемое выражает зависимость прироста больших рыб численности малых слагаемое уменьшение числа жертв зависимости численности хищников хуметод Эйлера ыагои 55 популяция хищника популяция жертвы 550 15 alа СлЛ 55 10 Артемьев Эдуард Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 Иодель Больтерра При уменьшении ыага амплитуда изменения численности становится устойчивой рассматриваемом промежутке фазовой плоскости построена фазовая траектория Переменная вначале убывает возрастает Затем достигает максимума начинает убывать продолжает возрастать достигает мак снмума Затем обе популяции сокращается пока достигнет минимума Процесс цикличен погрешностью метода Траектория медленно расходится при увеличении Фазовые линии дифференциальной подели хицникжертва При начальных значениях числености жертв 573 хицников можно видеть что фазовая кривая вырождается точку центр семейства кривых Далее изменяются значения 02 нагом 02 Замкнутость фазовых кривых подтверждает цикличность развития популяций жертв хицников Центр семейства фазовых линий соответствует случаю при котором численность жертв хицников меняется jfejptBbf Ырлинии 51 йИу 15 хицники хуметод Эйлера иагои 005 11 15 Задача хицнмках жертвах Рассматриваются двухвидовая модель хищник жертва дифференциальная модель развития популяций которая связана размножением или вымиранием последних число больших рыбхнцников число рыбжертв Модельj построенная Вольтерра имеет вид dxdt dydt При иаге 51 графики имеют сильно выраженную тенденцию увеличению амплитуды Артемьев Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 хуметод РунгеКутта порядка популяция жертвы популяция хицннкаД 11 15 Метод РунгеКутта нагом 51 Задача хицникжертва реиена численно ыагом 01 который методом Эйлера приводил значительным погрешностям Здесь имеем результаты достижимые методом Эйлера лииь при уменьшении нага 20 раз Графики при сравнении просвет совпадают еСё Задача двух хищниках жертве Модель развития трех разных сосуществующих популяций двух популяций хищников численностями одной популяции жертв численностью iiЈ xft Здесь учитывается эффект самоотравления жертвы Ниже приведены расчеты без учета самоотравления Численная реализация итерационного процесса сильно отличается схемы для двух видов что один видов хищников вымирает конкурентной борьбе источник питания жертву 33 Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 метод РунгеКутта порядка xnipjitJUyerrS хииннк жегива 12 18 Здесь рассматриваются две популяции ХИЩНИКОВ численностью сответственно Они конкурируют борьбе один тот источник питания которым является третья популяция жертва численностью Один видов должен вымирать Если этим видом окажется ИСТОЧНИК питания вымрут хицники Дифференциальные уравнения развития трех популяций dxdt dydtbl dzdtcl Кртёмьев ЭдуЩщ Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 метод РунгеКутта порядка хищник 12 JCULJHUK жеша 12 18 коэффициент линейного роста численности жертвы коэффициент характеризующий внутривидовую борьбу коэффициент поедания жертвы первый коэффициент поедания жертвы вторым хищнХком коэф задержки роста хищника при отсутствии жертв коэф прироста хищника При наличии пищи жертв коэф задержки роста хищника при отсутствии жертв коэф прироста хищника при наличии пищи жертв Артемьев ЭдуардЧИосифовичхледование Чебоксары 19981 метод РунгеКутта порядка xyz жертва 15 химнйк хts WjHHKT ycF 11 15 02 коэффициент линейного роста численности жертвы коэффициентi характеризующий внутривидовую борьбу коэффициент поедания жертвы первым хищником коэффициент поедания жертвы вторым хищником коэфзадержки роста хищника при отсутствии жертв коэфприроста хищника при наличии пищи жертв коэфзадержки роста хищника при отсутствии жертв коэфприроста хииника при наличии пищи жертв Здесь коэффициенты соответствуют задаче двух хищниках одной жертве Влияние самоотравления жертвы исключено Видно что популяция хищника вымирает результате конкуренции ИртемьевКЭдуард Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 метод РунгеКутта порядка XjyiZ жертва 15 хйцнйк 55 11 15 rfcl коэффициент линейного роста численности жертвы коэффициент характеризующий внутривидовую борьбу коэффициент поедания жертвы первый хищником коэффициент поедания жертвы вторым хнцннком коэфзадержки роста хицника при отсутствии жертв коэфприроста хицника при наличии ПИЦИ жертв коэфзадержки роста хицника при отсутствии жертв коэфприроста хицника при наличии пици жертв Здесь коэффициенты соответствуют задаче одном хицнике одной жертве влияние третьего хицника самоотравления жертвы исключено Артемьев Эдуард Иосифович Исследование математических моделещимитации конфликтов 598 метод РунгеКутта порядка xyz жертва 15 хищник хищник 11 15 02 коэффициент линейного роста численности жертвы коэффициент характеризующий внутривидовую борьбу коэффициент поедания жертвы первым хищником коэффициент поедания жертвы вторым хицником коэф задержки роста хищника при отсутствии жертв коэф прироста хииника при наличии пици жертв коэф задержки роста хищника при отсутствии жертв коэф прироста хииника при наличии пици жертв Здесь коэффициенты соответствуют задаче двух хищниках одной жертве Сказывается влияние самоотравления жертвы Видно что популяция хищника вымирает результате конкуренции самоотравление приводит асимптотическому установлению предела численности ХИЩНИКОВ жертв Артемьев Эдуард Иосифович Исследование задаче двух хиуниках жертве исключаем параметр строим траекторию развития популяций пространстве начальная точка конечная Траектория характеризует численную зависимость при развитии Хорошо видно что точка выходит плоскость ХОУ где ХИЦНИК вымирает результате конкурентной борьбы хицником хотя начальный момент превосходит численности ематических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 11 15 02 15 23 18 15 13 52 15 Press any key continue Артемьев Эдуард Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксарь Две популяции хицников одинаковы своим параметрам отношению жертве Жертва также одинаково реагирует влияние каждого хицника Отличие только начальных чмсленностях хицников Влияние самоотравления жертвы исключено Процесс развития популяций строго цикличен Причем овал цикла вертикален находится одной плоскости осы начальной точкой 11 15 Артемьев Эдуардосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Две популяции хищников одинаковы своим параметрам отношению жертве Жертва также одинаково реагирует влияние каждого хицника Отличие только начальных численностях хищников Влияние самоотравления жертвы учитывается Процесс развития популяций спиралеобразен Причем спираль вертикальна находится одной плоскости осью начальной точкой Эффект самоотравления жертвы приводит равновесию трех популяций без вымирания какойлибо Напомним что здесь хицннки однотипны 11 08 55 Стоит незначительно изменить параметры хищников как борьба между ними принимает драматический характер Еще раз убеждаемся неизбежности уничтожения одного них даже при незначительном различии некоторых параметров одного вида параметров другого Пора делать вывод том что для выживания гибнущей стороне нужно при неимении других планов фиксировать принимать параметры конкурента Заметим что здесь спираль растягивается своим полюсом стремится плоскости образуя коническую спираль 11 08 54 11 51 55 Артемьев Эдуард Иосифович ИсследованиеТматематических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 Бериина конической спирали теперь находится плоскости Изменение параметров привело изменению ориентации конуса параметр повлиял темп уменьшения амплитуды вымирании следует говорить терминах относительного времени Следует помнить том что решения соответствующих систем определенных пределах управляются экспонентами отрицательными коэффициентами при Абсолютное уничтожение практическая категория теоретическая Для зрительного достижения плоскости наблюдаемого здесь приылось затратить 550 причем половину 1100 всего пути эгГ 11 04 21 15 Простейшие модели вооруженной борьбы gМодели Манчестера оМодель Манчестера рода Начнем научение процесса вооруженной борьбы описания Щпростейших ситуаций классическим примером которых является ситуация Две группировки противника сотоящие каждая одинаковых боевых единиц находятся процессе друг другом протекающем следующим образом Каждая боевая единица противника ведет поиск некоторой единицы противника как только находит совершает ней один элементарный акт воздействия Точно так ведет себя каждая единица противника Что такое элементарный акт огневого воздействия зависит того что представляют собой боевые единицы какими средствами они обладают простейшей gинтерпретации боевые единицы это солдаты стрелковым оружием элементарный акт воздействия один выстрел или очередь оружия исключена однако такая интерпретация понятий когда боевые единицы являются целыми нподразделениями элементарные акты воздействия огневые налеты помощью различных систем вооружений имеющихся подразделений ЙДалее для краткости элементарный акт воздействия будем называть швыстрелом результате элементарного акта воздействия боевая единица gкоторой совершался либо остается совершенно неповрежденной принимает участие дальнейшем процессе наряду всеми иостальными либо мгновенно выходит строя оказывает дальнейшее течение процесса никакого действия Это означает что шона сама совершает никаких актов воздействия боевым единицам апротивника течение всего дальнейшего процесса также факт строя сразу становится известным всем единицам противника ней дальнейшем совершается никаких воздействий Временем которое проходит момента выстрела момента выхода строя боевой единицы если таковое имеет место результате этого выстрела будем пренебрегать считать что каждой боевой единицы противника при каждом выстреле вероятность вывести строя единицу противника одна равна Будем считать также что количество 45 выстрелов совершаемых одной боевой единицей противника единицу времени скорострельность одно течении всего процесса Обозначим его через OLOL Обратим внимание ото что величины могут совпадать вообще говоря теми скорострельностями которые являются техническими характеристиками имеющегося боевых единиц оружия постоянство является довольно существенным предположением относительно характера процесса сопутствующего изучаемому процессу взаимного уничтожения поскольку для проведения прицельного соответственно Артемьев Эдуард Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 Нас будет интересовать дальнейшее течение прцесса iвыстрела единице противника необходимо обнаружить Пусть момент противников было 50 50 боевых единиц оте изменение численности боевых единиц противников течением времени Конечно маловероятно чтобы какомлибо вооруженном конфликте которые имели место прошлом либо происходят сейчас реализовывался тот самый процесс который собираемся изучать слишком много сделано предположений Например даже если боевые вооружены одним тем оружием практически они никогда бывают полностью одинаковыми вероятность Поражения при одном ьтом выстреле различных боевых единиц различна Далее боевые единицы которым данный момент ведется огонь большинстве случаев знают это таких единиц вероятность ипоражения противника при собственных выстрелах может существенно хуменьшиться реальных условиях редко течении всего процесса овыполняются предположения сделанные относительно шинформированности противников друг друге боевые единицы могут так что боевые единицы могут появляться исчезать поля зрения что собираемся изучать лишь некоторая схема ереального процесса какихто чертах него похожая оОбозначим численности боевых единиц противников момент cjвремени через Потери противника число выведенных строя противником боевых единиц некотором временном промежутке 53 длины этот временной gпромежуток далее для краткости обозначается через равны zсоответствии введенными обозначениями 52 Эти потери другой стороны можно оценить следующим образом Одна боевая единица противника промежутке делает иукрываться складках местности поле боя может быть задымлено 46 выстрелов Предположим что промежуток столь мал что можно считать что количество выстрелов сделанных противником промежутке точности равно этом случае математическое ожидание количества выведенных строя единиц противника равно Итак если сделанные выше предположения относительно промежутка справедливы будет иметь место приближенное равенство 52 роцжтадцШ Аналогично ffl IIССС Запишем эти соотношения более удобном виде 5555 52 Pgsamgd Слева них фигурируют величины трактуемые естественным образом как скорости изменения численности противников Это дает основание постулировать следующую математическую модель описывающую интересующие нас изменения численностей взаимодействующих противников dndt 51 51 50 50 Еще раз подчеркнем что модель 36 является некоторым постулатом гипотезой рассуждения которые дали основания ввести являются строгими представляют собой лишь некоторые наводящие соображения Хотя изменили обозначения для численностей противников модели 36 однако величины JIL 47 фигурирующие соотношениях величины модели 36 это разные величины эти величины соответствии здравым смыслом являются целыми числами точнее целочисленными функциями времени соотношениях 36 величины щявляются дифференцируемыми функциями времени обязательно mпринимающими как целые так дробные значения Таким образом tсоотношениях 36 величины это настоящие Sчисленности некоторые абстрактные характеристики пришлось для получения строгих однозначно трактуемых соотношении 36 которых уже чисто математическими средствами можно извлекать следствия частности соотношения 36 позволяют дать прогноз развития изучаемого процесса поскольку они однозначно определяют функции яцШ характерезующие численности если заданы начальные условия 50 50 также обр Иначе модель замкнута если осчитать ней внутренними величинами функции rot хвнешними начальные условия 50 50 величины gЭТОТ факт имеет строгое математическое выражение решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений при начальных сусловиях существует единственно Модель 36 получила название модели Ланчестера рода начнем изучение некоторых преобразований Обозначим iVPi 572 nProP 12 Примечание Здесь характерезует интенсивность процесса уменьшения численностей противников называется приведенным временем Штрих при приведенном времени будет далее опускаться Перейдем 36 величинам введенным формулами Получим ddt 50 пОпо 11 48 50 5520 12 называются коэффициентами эффективности приведенными численностями Очевидно что форма 912 Sмодели 36 более удобна для анализа Система 10 является линейной однородной системой обыкновенных дифференциальных уравнений решение которой удовлетворяющее начальным условиям 11 012 можно выписать замкнутой аналитической форме Сделаем это позже Сейчас рассмотрим один первых интегралов системы 10 функцию величин фигурирующих системе при подстановке которую любого решения системы она обращается постоянную Нас будет интересовать интеграл зависящий времени Такой системы 10 точностью функционального комбинирования существует только один Для его получения умножим 10 вычтем друг друга Получим соотношение tdn JE Его интегрирование дает 55 5520 13 Таким образом разность квадратов приведенных численностей меняется течение всего изучаемого нами процесса уравна поэтому такой разности начале процесса Соотношение 13 называется законом квадратов Оно содержит важную информацию характере изучаемого процесса для того чтобы понять как протекает процесс как именно изменяет характерезующие его величины необходимо первую очередь понять что именно этот хпроцесс меняет какие именно величины сохраняются при его течении другими словами необходимо выявить его инварианты 53 сразу вытекает что победу взаимодействии одержит тот mиз противников которого начале была большая приведенная численность Если например 50 как следует 13 нтечение всего процесса будет этом случае тот момент 49 когда второго противника численность обратится будет полностью уничтожен первого противника останется 52 14 боевых единиц Вспомнив соотношения определяющие приведенные учисленности получаем представление относительной важности mтехнической вооруженности боевых единиц численности поскольку величины кар Крг являются математическими ожиданиями количества выведенных строя единиц одного Щпротивников одной единицей другого противника единицу времени могут трактоваться поэтому как характеристики технической вооруженности противников Еще одно важное содержательной точки зрения следствие Iзакона квадратов 13 выявляется рассмотрения следующей ситуации Пусть обоих противников имеется одно начальное gколичество приведенных сил 55 однако процесс взаимодействия походит два этапа первом этапе противник вступает всеми своими силами взаимодействие лишь половиной противника этом взаимодействии победу одержит противник него после окончания взаимодействия останется iсоответствии 14 приведенныхсил втором этапе этими силами противник вступает взаимодействие второй половиной сил противника Поскольку опять Jпобеду одержит первый противник причем него после второго 55 507 приведенных сил Первый противник описанном взаимодействии полностью уничтожил второго истратив это лишь около 30 своих сил щРассмотренный пример демонстрирует хорошо известный времен gдревности принцип состоящий том что противника необходимо Ебить частям дальнейшем для краткости этот принцип будет именоваться принципом БПЧ Естественно чем большее количество Jxчастей удастся разбить противника очереди всеми своими силами швступить взаимодействие этими частями тем больший эффект будет достигаться описанной выше ситуации если противник нразбит две равных частей противника после полного уничтожения противника посте Nro взаимодействия взаимодействия останется соответствии 14 50 останется 55 приведенных сил Другая сторона принципа БПЧ состоит том что можно побеждать противника имея меньшую начальную приведенную численность Если противник разбит равных частей противник побеждает имея чуть больше чем приведенных сил Приведем теперь решение системы 10 начальными условиями 11 12 Продифференцируем уравнение используя уравнение 10 получим 555 Общее решение этого уравнения дается формулой exptB expt Подставляя это 10 прлучаем exptB expt Артемьев Эдуард Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 Используя начальные условия 12 получаем для определения произвольных постоянных соотношения 50 50 Таким образом 50 50 50 50 или 50 cht 50 sht 15 50 cht 16 50 Значение приведенного времени при котором взаимодействие прекращается изза полного уничтожения противника дается формулой 10 arctn 17 20 10 20 Если 5520 5510 expt этом случае процесс взаимодействия продолжается бесконечности Необходимо иметь виду однако что при малых численностях уравнения Ланчестера будут описывать процесс некорректно Изучим теперь как ведет себя величина 518 которую принято называть соотношением сил точки зрения первого протвника Соотношение сил часто фигурирует профессиональном анализе оценках ситуаций театре военных действий Дифференцируя получаем 51 йdS 54 ИЛИ dtI Интегрируя это уравнение при условии SOSnn получаем Ssi 19 52 где 5105101 Если 50 как видно 19 функция монотонно gвозрастает бесконечности когда меняется Соотношение сил таким образом течение изучаемого процесса все более пользу того противника который самого вначала был сильнее Одно предположений лежащих основе модели Ланчестера эрода состояло том что каждый противников течение цфиксированного промежутка времени равного для первого gпротивника 52 для второго обязательно находит непораженную единицу противника которой производит воздействие неменяющейся временем вероятностью вывода строя 33 33 52 Модель Ланчестера рода 12 численность противника численность противника 175 начальная численность Простейиая модель вооруженной борьбы Ланчестера рода между противником противником Дифференциальные уравнения модели имеют вид dxdtsZfcy dydtsl при Пусть вероятность которой каждая боевая единица при каждом выстреле поражает боевую единицу скорострельность численность момент временной промежуток котором определяются потерн Одна делает промежутке выстрелов Математическое ожидание числа выведенных строя принимаем равным rol это есть изменение численности Следовательно ffll или Аналогично получаются уравнения 55 xnl slal 52 Получим уравнения Модель Ланчестера iГО рода ЭТО одна простейших моделей вооруженной борьбы 41 Построение зависимости численности противника численности противника Поотроенив фазовой траектории Fxy методой РунгеКутта УGOSUB 1000 Подпрограмма построения системы координат правая часть диффуравнения изменения численности первого противник DEF fnfx правая часть диффуравнения изменения численности второго противника DEF fnfy 52 12 козФФиииенты диффуравнения ХtV 100 01 время конечное приращение времени 01 175 начальные условия вывода начальных данных Метод РунгеКутта уFOR 250 цикл изменения времени SIF ТНЕН 500 Dkxl fnfxx fnfyx fnfxx kxl kyl fnfyx kxi kyl fnfxx XкуЗ fnfyx fnfx fnfyx кхЗ куЗ приращение количества противника Jdx kxl приратцение количества противника kyl куЗ 35 NEXT 55 rXfl ffi Вывод комментариев начальных данных 25 PRINT Модель Ланчестера рода НLOCATE 25 PHIMT чиоленнооть противника XLOCATE 11 25 PPIMT численность противника LOCATE 16 PRIMT начальна численность ZLOCATE 60 PRINT gLOCATE 60 PRIHT alrfj 3000 END цЮОО Подпрограммапостроения системы координат QSCREEN 12 графический экран Шmt 100 100 иасштаб пикселей единиие 50 200 начало координат пикселах экране разметка обозначение осей gFOR LINE 520 координатные оси LINE 50 10 tPSET точка графика противника PSET rox точка графика противника 54 rool ABS 10 NEXT 02 THEN CIRCLE rot 3000 LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE RETURN So STEP FOR PSET NEXT LOCATE 12 73 PRINT LOCATE 10 PRINT Xfye LOCATE 14 19 PRINT LOCATE PRINT RETURN PRIMT PRINT PRIMT PPINT PRIMT PRINT PRINT PRINT PRIMT PRIMT PRINT PRINT PRIMT PRINT PRIMT PRINT PRIMT PRINT PRINT PRINT PRIMT PRINT PRINT PRINT 17 17 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 40 40 40 40 40 40 40 40 40 42 40 40 40 ДиФФеренциа подпрограмма вывода комментариев Артемьев Эдуард Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 Простейшая модель вооруженной борьбы Ланчестера рода между ПРОТИВНИ КОМ противником льные уравнения модели имеют вид dydtsl при 50 50 Пусть вероятность которой кажд боевая единица при каждом выстреле поражает боевую единиц скорострельность численность момент временной промежуток котором определяются потери Одна делает промежутке выстрелов Математическое ожидан числа выведенных строя принимаем равным это еоть изменение численности Следовательно иди Аналогично получаются уравнения Обозначим xml siral 52 Получим уравнения 55 ГиЙчсчзо 50515 92 сежыси 55 535 55 53553 55 05 555 555054 ояссXсJ сев 30335 03 рогосеXжРчw 5031 03 13 5505 105032 03 55 34 сеX 5505305 РчШ 31 533 5033 МРц 53 553 34 031525 53 нвX ОсXИо 5540 535 XЯсеяX 553 XсеXXOJяр срцX 50315 53 XСЗчЦСО 559 CSJ 5535 535 55 54 55 50555 изсРчж евпс 55 55 XосеXнЙ 53 353 55 0503 555 СЧЗ 535305 55 55 mпРч 35130535 сес 505 55 55305 54 NРчшсеf 55 РчияГ 54 5353 ЧГС сеЫочНРчО 55 34 51 33 Модель Ланчеотера рода это одна простейших моделей вооруженной борьбы Построение зависимости численности противника численности противника Построение Фазовой траектории методом РунгеКутта Здесь используется понятие приведенной численности 1000 Подпрограмма построения оистемы координат правая часть диффуравнения изменения численности первого противника DEF fnfx правая часть диффуравнения изненения численности второго противника DEF fnfy 01 время конечное приращение времени начальные условия вывода начальных данных 106 Метод РунгвКвтт иикл изменения времени 800 FOR 250 kyl kyl кхЗ КУЗ THEN kyl kyl dt fnfxx fnfyx fnf kxl fnf fnf fnf fnfy kxl кхЗ кхЗ куЗ приращение количества противника kxl приращение количества противника kyl куЗ точка графика противника точка графика противника PSET rat PSET NEXT Вывод комментариев Начальных данных LOCATE 23 PRINT Модель Ланчестера рода приведенной численное LOCATE 33 PRINT приведенная численность противника LOCATE llv 33 PRINT приведенная численность противника LOCATE 16 PRIMT yOs начальная численность 3000 END 1000 Подпрограмма построения системы координат SCREEN 12 графический экран 100 100 масштаб пикселей единице 50 200 начало координат пикселях экране координатные оси LINE 5620 LIME 50 10 разметка обозначение осей FOR PSET ABSt 10 02 THEN CIBCLE NEXT 57 FOR STEP PSET NEXT LOCATE 12 73 PRINT LOCATE PRINT LOCATE 14 19 PRINT Mift LOCATE PRINT RETURN 3000 575 5740 PRIMT 585 5840 PRINT 5925 5940 PRINT 505 5040 PRIMT 5115 5140 PRINT 525 5240 PRINT 55 PRIMT 5340 PRINT 545 5440 PRIMT 555 5540 PRIMT 565 5640 PRINT 575 575 PRINT 585 5840 PRIMT RETURN подпрограмма вывода комментариев Простейшая иодель вооруженной борьбы Аанчестера рода между противни КОМ противником Дифференциа льные уравнения модели имеют вид dxdty dydtx при хСО Пусть вероятность которой кажд боевая единица при каждая выстреле поражает боевую единиц скорострельность численность момент временная промежуток кото ром определяются потерн делает промежутке выстрелов Математическое ожидан числа выведенных строя принимаем равным это есть изменение численности Следовательно или Аналогично получаются уравнения Обозначим xrol 55 505 55 получим уравнения 58 lot аз 31 IZi COшА нму ооо РчРчX ссX Орс иси Нисе оой хXсе 053 ссе ииX ааж Xсе Xчч азшИ иtc СОш шхл РчX сJJJn ИЗо хЭкX схж хлX IIл 59 11 55 505 ЩсоисXхп 505 IIазннсох 5503 553 ZTОXXРч шжсоXXОСсSX 5510305 цXсеtcсНиtc 533 535 53 РчXиX Cyyt нЭЗ 55 чНО 545 55 чНуXчtcоРчч чiх 50505 TJH Xсосесорсеаз 595 чНх XSсо 5505 СПzrt 551 55 исоЧ чНсо 5505 ЫжXсоXсеиNX eZwС сиpaсосоXИИсез 55 зZРннилсеш сосе 53 505 55 ZCнXшгXсесонВ смО 55033 РыштЬееQXXXсеX 5503 50559 53 исоос сму 55 55 35 чэсе XоиооРч смXXXаXрсеизXXс 5305 ииРчо СПо 505 соX 553 схсоXсоч смосмооРчОноНX СОВ 55 55 57 рсоXIиSсоXX съи 505 IIсз ссоусои 1533 53 CTi 01 Модель Ланчестера рода Построение зависимости численности противника численности противника Здесь используется понятие приведенной численности данной программе моделируется принцип тактики Бей противника частям КОГДА слабая СТОРОНА выбирает часть противника меньшей приведенной численность уничтожает принимается уничтожение другой части противника приведенной численностью достаточно малой для победы GOSUB 1000 Подпрограмма построения системы координат правая часть диФФуравнения изменения численности первого противника DEF fnfx Правая часть диФФуравнения изменения численности второго противника DEF fnfy 01 время конечное приращение времени начальные условия вывода начальных данных Метод РунгеК тта Xlt цикл изменения времени PRINT USING LOCATE 15 11 РЕINT FOB 500 THEN THEN 500 kxl kyl kxi kyl kyl dt fnfy fnfxx tnty fnf fnfxx fnfy fnfx kxl fnfyx приращение количества противника kxi приращение количества противника kyl куЗ точка графика противника точка графика противника PSET PSET NEXT PRINT Вывод комментариев начальных данных LOCATE 25 Принцип Бей противника частям модели LOCATE 33 PRINT приведенная численность противника LOCATE 33 PRINT приведенная численность противника LOCATE ЗЗPRINT хОв Ell начальная чиоленнооть 3000 END 60 3000 LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE RETURN OOl 101 MXf lol CD iOOO Подпрограмма построения оистемы координат SCREEN 12 графический экран rot 100 масштаб пикселей единице 50 200 начало координат пикселях экране LINE 620 координатные оои LINE 10 разметка обозначение осей xtщ FOR rot PSET rot 10 02 THEN CIRCLE NEXT FOP STEP PSET NEXT LOCATE 12 73 PRINT LOCATE 10 PRINT LOCATE 14 19 PRINT LOCATE 10 PPIMT RETUPN PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT PRINT 41 41 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 подпрограмма вывода комментариев Согласно модели Аанчеотера рода при вступлении конфликт всех всех выигрывает тот противник чья начальная ПРИВЕДЕННАЯ ЧИСЛЕННОСТЬ была выше Напомним что ПРИВЕДЕННАЯ ЧИС ЦЕННОСТЬ xml slal 52 есть характеристики техниче окой вооруженности противников собственно численнооти боевых единиц Выходит что самом начале следует капитулировать противника иеньшей при веденной численностью Нет 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 Здесь приведена драима поражения проти начальной приведенной численностью более слабому начальной приведенной численностью слабого противника заключав тся тон что ухитряется бить противника частям Каждый раз выбирае группировку противника приведенной численностью равной уничтожает атен переключается следующую группу Под гракФикон приведены значения прив чиол перед очередной акиией 61 gМодель Ланчестера рода оРассмотрим несколько другую ситуацию которая очевидно достаточно часто имеет место Пусть каждый противников видит конкретных боевых единиц другого противника знает лишь область где они расположены Конфигурация области DDg где расположены боевые единицы противника несущественна Обозначим площадь области DjCDg через SSg Введем рассмотрение величину 52 Эта величина характерезует порядку линейный размер области DDg Будем считать что характерный линейный размер боевой единицы противника меньше величины 1220 Предположим что при попадании боезапаса противника область все боевые единицы потивника оказавшиеся внутри круга площади 56 центром точке попадания выходят строя вероятностью QgCQ боевые единицы находящиеся 33 isl IwB jgl СГЭ ffl 62 пределами этого круга остаются совершенно непораженными Очевидно что эти предположения содержат также предположение том что 57 21 характерный линейный размер боевой единицы меньше порядку величины характерного линейного размера площади поражения mПредположим далее что характерное расстояние dcL между ОТс боевыми единицами больше линейного размера площади поражения 5522 Это предположение позволяет считать что каждый выстрел может нвывести строя лишь одну боевую единицу Предположим наконец что противник ведет стрельбу так что при каждом выстреле попадание окрестность любой точки Фобласти пропорционально площади этой окрестности что характерная величина рассеивания при стрельбе 52 порядку величины 51 хменьше линейного размера области 52 iПусть некоторый момент времени численность боевых единиц противников равна пцШ тЛХ сделанных предположений следует что вероятность вывода строя единицы противника при выстреле единицы противника совершенном момент 51 55 Рассуждения аналогичные тем которые были выполнены для модели Ланчестера 1223 времени равна 62 51 рода дают основание постулировать рассматриваемом случае следующую модель dmdt 02 55 24 52 25 91 5026 520 5027 получающуюся подстановкой соотношения 36 модели ланчестерг рода вместо 51 величины 51 01 55 Вводя обозначения получающуюся подстановкой соотношения 36 модели Ланчестера 63 11 28 VWVsi 29 получаем fBL 50 31 гоО 50 32 50 5033 5033 принято называтьуравнениямиЛанчестера рода Соотношения вида 3033 описывают процесс вывода строя боевых единиц только при сформулированных этом разделе предположениях Например фактически ничего изменится рассуждениях если отказаться предположения 22 считать что боевые единицы противников равномерно распределены соответствующим областям этом случае величина 62 51 52 будет характеризовать математическое ожидание количества выведенных строя боевых единиц стороны при одном выстреле единицы противника совершенном момент Еще одним примером является ситуация когда боевые единицы хотя видят противника имеют информации результатах своих выстрелов Может сложиться ситуация когда часть боевых единиц находится одних информационных условиях другая часть других этом случае процесс выхода строя боевых единиц описывается моделью обобщающей модели 36 3033 dradt 52 34 111 35 fflO 50 50 36 37 начнем ЗОЗЗ 20 Исследуя процесс описываемый этими соотношениями случая 520 модели Ланчестера рода Естественно сделать следующую замену искомых функций 38 52 64 IЙЗ 31 13 drdt dndt nrig результате которой соотношения 3033 примут вид 39 40 50 50 41 42 прежде оудем называть приведенными численностями данном случае зависящий времени интеграл ситемы 39 40 друга что дает получается вычитанием этих уравнении друг Величины как прежде будем называть 43 5520 ntjngtt Таким образом рассматриваемом взаимодействии сохраняется разность приведенных численностей Поэтому тот противник которого начале процесса привеленная численность была больше будет сохранять это преимущество течение всего процесса Артемьев Эдуард Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 Найдем явные выражения для функций удовлетворяющих 3942 Для этого выразим 43 подставим получившееся выражение 39 Подучим 44 VnrV где 45 50 50 44 следует различать два случая случае начальная разность приведенных сил При интегрировании уравнения 44 следует различа как нетрудно видеть 46 ntngUnAntl 5510 expt Общий характер решения похож решение уравнений Ланчестера рода случае равенства приведенных сил однако стремление нулю приведенных численностей при увеличении времени происходит менее интенсивно что объясняется уменьшением вероятности поражения при уменьшении численностей Рассмотрим теперь основной случай когда нарушая общности можно считать что Уравнение 44 перепишем виде 65 47 оИнтегрируя 47 учетом начальных условий 41 42 используя 50 51520 еХр 48 50 5520 49 Узатем 43 получаем Итак величина соответствии 48 монотонно уменьшается 50 5520 величина монотонно уменьшается 50 нуля Существенное отличие рассматриваемого процесса того который tописывается уравнениями Ланчестера рода состоит том что численность более слабого противника обращается ноль лишь при Однако так как для уравнений Ланчестера рода gпредположения сделанные при выводе уравнений 3942 справедливы лишь тогда когда численности rAt достаточно gвелики JjДля процесса описываемого уравнениями Ланчестера рода EEL места самом деле если 5520 противник вступает взаимодействие сначала половиной сил противника затем принцип БПЧ котором шла речь предыдущем разделе имеет оставшимися силами второй половиной соответствии 43 него после первого взаимодействия останемся 502 сил никакого выигрыша такой организации процесса иметь будет Некоторое неудовлетворение этих рассуждениях вызывает обстоятельство что первое взаимодействие окончится лишь при Некоторое неудовлетворение этих рассуждениях вызывает Видоизменим рассуждения следующим образом Будем считать что Iпервом взаимодействии противник вступает бой количеством сил пРтивника где Остальные 50 сил противника находятся резерве Пусть первое взаимодействие продолжается некоторое время Обозначим количество сил противников после первого взаимодействия через 43 вытекает что эти величины связаны 50 соотношением 51 50 50 втором взаимодействии оставшиеся после первого взаимодействия 66 силы противника количестве 51 объединяются резервом количество которого равно результате начале второго взаимодействия противника будет силу 50 55 544 сил ровно столько сколько противника Тот факт что некоторое время все силы противника взаимодействовали частью сил противника никакого влияния характер процесса оказал точно такой ситуации если процесс описывался Ланчестера рода выиграл очевидно противник Интересен вопрос том имеет место принцип БПЧ для модели 3437 Интуитивно ясно что ответ этот вопрос должен быть однако исследование этого факта успели лпровести 92 92 33 67 04 елейностьпоражения 21 XXш XXВX зXXу мнЛнэ ооснЭ ОнРчсоСО OSО роX 5111 очНечз ЛлСП рНиип SIXXII XXо 54 Рчсс шии нXXчН XоЧ 55 34 11 иричНАX онсесоX XXЭР сеИИр XXи шрогсо оОо РчсCDс NРч 534 XXи 35 XIшчоIIям Xси СXиссчзжсеси 35 чНXс сеоти XXРчИiЛР схЕСю 35 5534 Нзи ьсхCQ иXо SсX нЭwы 35 fliшXи сиУ Ясос QXСОXЭР РчшсмXXо CNJшо АнОииынгш соИ ИЭР XтОtcсеX СМиX СОмшоИш 5535 ссиРиш лсинз сон 525 ыэдCDцг Нис XиГ чНосчНРиэ сеи IРииQS 55 54 Нгт XSо SZXИ ШXс 55 XизсеО 35 сеWсоX оiЈ оИосимр 54 МРчи оОч шхсесоСО Рчрси NjисеиXшС хЛД 351 ТнXPUсеРно СсичНее 34 ИиXXXX РчЧоЧ 53 XкJQоXи чИшiCIIр XочЧоО РчСОнщ шоX лРчSОосе 52 05 XЭЕ УРчX XШшсыт шсИсо союсерОX сесесео 545 XлмисонсиXс 68 CTi 01 tnf Модель Ланчестера рода вооруженной борьбы Построение зависимости численности противника численности противника 1000 Подпрограмма построения системы координат правая часть диффуравнения изменения численности первого противника DEF fnfx правая часть ДИФФУравнения изменения численности второго противника DEF fnfy время конечное приращение времени начальные условия вывода начальных данных поражаемая выстрелом поражаемая выстрелом часть Метод РунгвКутта цикл изменения времени FOR kxl kyl 500 fnfx fnfx kxl часть dt kyl fnfy tnfх ttktУ fnfxx kyl приращение количества противника kxl приращение количества противника kyi ffltf точка графика противника PSST mtt точка графика противника NEXT PRINT численность противника PRINT ylt начальная численность коэффициент поражения 00 23 PRINT Модель Ланчестера рода 335 PRINT численность противника 33 Вывод комментариев начальных данных LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE 33 PRINT kls klj 3000 END 1000 Подпрограмма построения системы координат SCREEN 12 графический экран 10 100 масштаб пикоелей единице 305 200 начало координат пикселях экране 69 3000 LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE LOCATE RETURN 351 33 LINE 620 координатные оси LINE 10 разнетка обозначение осей FOR PSET ABSt 10 02 THEN CIRCLE NEXT FOR STEP PSET NEXT LOCATE 12 73 PRINT LOCATE 10 PRINT LOCATE 14 19 PRINT 10 LOCATE 61 PRINT RETURN 17 17 18 18 19 19 20 20 21 211 23 24 25 26 26 27 27 28 28 подпрограмма вывода комментариев PRINT Модель вооруженной борьбы Аанчестера 40 PRINT рода Дифференциальные урния PRINT модели dydtkl 40 PRINT при PRINT вероятность вывода строя 40 PRINT при выстреле PRINT боевых единиц противников 40 PRINT скорострельности PRINT площадь круга поражаемая при выст 40 PRINT реле 55 42 вероятнооть тогочто PRINT все оказавшиеся круге 40 PRINT выходят строя площадь PRINT тина которой распределены вое 40 PRINT Тогда можно обозначить 52 PRINT Аналогично получим ply 40 PRINT Уравнения получаются уравнений PRINT Ланчестера рода Заметим что 40 PRINT 52 часть PRINT емая при выстреле одной 40 PRINT Существенное отличие динамики PRINT кта иодели рода заключается 40 PRINT том что численность более слабого PRINT противника обращается ноль асинптоти 40 PRINT чески 70 Литература Артемьев Эдуард Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 Абрамов Виленкин Дорофеев Егоров ЙЗемляков Мордкович Избранные вопросы математики 50 Факультативный курс Сост СИШварцбурд под ред gФирсова Просвещение 1980 591 Амелькин Дифференциальные уравнения приложениях Наука Главная редакция физикоматематической литературы 5987 160 Иванилов Огарышев Павловский Имитация РАН 1993 196 Самойленко Кривошея Перстюк Дифференциальные уравнения примеры задачи Учеб пособие Высш 1989 383 Хайрер Нерсетт Ваннер Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Мир 1990 512 33 33 71 gСодержание Введение JУравнение Мальтуса gУравнение ФерхюльстаПерла Модель Полетаева 12 Интегродифференциальные уравнения экологии 18 Задача Хищникжертва 26 Задача двух хищниках жертве 33 Задача Хищникжертва 26 Модель Ланчестера рода 45 Модель Ланчестера рода 62 Литература 71 ГззД 35 сона дипломную работу Артемьева Отзыв Исследование математических моделей имитации конфликтов gМатематические модели основе обыкновенных дифференциальных оуравнений систем часто оказываются эффективными при описании физикомеханических явлений когда поведение объекта определено проверенными практикой законами областях связанных влиянием множества случайных факторов такое моделирование может столь эффективным Однако основные закономерности iповедения исследуемой системы всетаки проявляются наглядно данной работе простых примерах развития одной популяции или различных факторов представляемых параметрами дифференциальных уравнений динамику численности популяций нескольких взаимодействующих популяций исследуются влияния Перед дипломником ставилась задача проведения численных Фэкспериментов для выявления основных закономерностей развития Япопуляций при различных параметрах задача наглядной графической хинтерпретации полученных результатов Дипломник рассмотрел достаточно большое число моделей провел Цчисленные решения привел аналитические решения Приведены выводы feо возможных вариантах развития популяций Работа имеет важное значение как демонстрационный материал при iчтении курса Математическое моделирование естествознаний Оценка отлично Научные руководители Зав кафедрой мататематического мододелирования ЧГУ проф Артемьев преподаватель кафедры математического моделирования ЧГУ Филиппов fdfM РЕЦЕНЗИЯ gjна дипломную работу тему Исследование математических моделей имитации конфликтов Эдуардом Иосифовичем выполненная дипломником математического факультета Артемьевым Дипломная работа содержит 33 стр пояснительного текста 39 листов графической части Разработаны методы моделирования экологии биологии так рассмотрены вопросы прогнозирования военных конфликтов основанные системах обыкновенных дифференциальных уравнений Артемьев Эдуард Иосифович Исследование математических моделей имитации конфликтов Чебоксары 1998 При этом дипломной работе разработаны следующие вопросы рассмотрены вопросы прогнозирования военных конфликтов основанные особое внимание уделено качественному анализу развития конфликтов вымирание равновесие колебание численности При этом основной упор дипломной работе делается численное решение графическую интерпретацию решаемых задач так приводятся шаналитические решения некоторых задач Достоинства рецензируемой дипломной работы Все решения рассмотренных задач проиллюстрированы графические что позволяет делать качественный количественный анализ прогноз характеристик решаемых задач Все приведенные задачи могут иметь практическое приложение многих областях человеческой деятельности Недостатки рецензируемой дипломной работы работе уделено мало внимания вопросам устойчивости решений 00 дифференциальных уравнений Оценка омыл tcput Mupf РЕЦЕНЗЕНТ